struktur aljabar

GRUP
Suatu grup (G, *) adalah suatu himpunan tak-kosong beserta satu operasi biner *: G * G ® G, yang memenuhi sejumlah aksioma. “a * b” menyatakan hasil penerapan operasi * terhadap pasangan terurut (a,b) unsur-unsur G. Aksioma-aksioma tersebut adalah
1. Sifat asosiatif. Untuk semua a, b dan c dalam G, (a * b) * c = a * (b * c).
2. Unsur identitas. Terdapat satu unsur e dalam G sedemikian sehingga untuk semua a dalam G, e * a = a * e = a
3. Unsur invers. Untuk semua a dalam G, terdapat suatu unsur dalam G sedemikian sehingga a * b = b * a = e, dimana e adalah unsur identitas dari aksioma sebelumnya.
Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis secara perkalian. Yaitu:
Kita menulis “a • b”, atau bahkan “ab”, untuk a * b.
Kita menulis “1″ untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
Kita menulis “a-1″ untuk invers a dan menyebutnya kebalikan dari a.
Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari penjumlahan dan ditulis secara jumlah:
Kita menulis “a + b untuk a * b dan menyebutnya jumlah a dan b.
Kita menulis “0″ untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
Kita menulis “-a” untuk invers a dan menyebutnya lawan dari a.
Definisi grup :
Sistem matematika ( G, X )disebut grup jika memenuhi :
Sifat assosiatif
Untuk setiap unsur a, b, c di G berlaku ( ab ) c = a ( bc )

Unsur kesatuan
Terdapat unsur e di G yang memenuhi ae = ea = a untuk semua unsur a di G. unsur e disebut unsur kesatuan.
Balikan
Untuk setiap unsure a di G terdapat unsur a-1 di G yang memenuh aa-1 = a-1a = e. unsure a-1 disebut balikan unsur a.
Contoh grup
salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan “’Z”’ merupakan himpunan bilangan bulat, {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…} dan simbol “+” sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian, (“’Z”’,+) merupakan suatu grup.
Bukti:
a+ b ∈ Z a, b ∈ Z
( a+ b )+ c = a + (b + c ) a, b, c ∈ Z (sifat assosiatif )
0 + a = a 0∈Z∀a∈Z ( Elemen identitas )
a∈Z, ∃b= -a ∋
a + b = b + a = 0 ( elemen invers )

Sedangkan untuk operasi ( “Z” , x ) bukan merupakan grup, karena sifat balikannya tidak terpenuhi.